Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1 - e^{x^{2}}}{1 - e^{1 - x^{2}}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{1 - e^{x^{2}}}{1 - e^{1 - x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - e^{1 - x^{2}} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- e^{1 - x^{2}} = - 1$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- e^{1 - x^{2}} = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{1 - x^{2}} = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- e^{1 - x^{2}}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{1 - x^{2}}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $e^{1 - x^{2}}$ durch $1$ .

$e^{1 - x^{2}} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$e^{1 - x^{2}} = 1$

Schritt 2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{1 - x^{2}}) = \ln (1)$

Schritt 2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.4.1

Zerlege $\ln (e^{1 - x^{2}})$ durch Herausziehen von $1 - x^{2}$ aus dem Logarithmus.

$(1 - x^{2}) \ln (e) = \ln (1)$

Schritt 2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(1 - x^{2}) \cdot 1 = \ln (1)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $1 - x^{2}$ mit $1$ .

$1 - x^{2} = \ln (1)$

Schritt 2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$1 - x^{2} = 0$

Schritt 2.6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 1$

Schritt 2.7

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.7.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 2.8

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 2.9

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 2.10

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.10.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 2.10.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 2.10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 1, - 1}$

Schritt 4