Analysis Beispiele

$\frac{x + \frac{1}{x} + 17}{x + \frac{1}{x} + 2}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2

Setze den Nenner in $\frac{x + \frac{1}{x} + 17}{x + \frac{1}{x} + 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + \frac{1}{x} + 2 = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $x + \frac{1}{x} + 2 = 0$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $x + \frac{1}{x} + 2 = 0$ mit $x$ .

$x \cdot x + \frac{1}{x} x + 2 x = 0 x$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + \frac{1}{x} x + 2 x = 0 x$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{1}{x} x + 2 x = 0 x$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 1 + 2 x = 0 x$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$x^{2} + 1 + 2 x = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.3.1.1

Ordne Terme um.

$x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} + 2 x + 1^{2} = 0$

Schritt 3.3.1.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.2

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0, - 1}$

Schritt 5