Analysis Beispiele

$y = \frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 1 + \sec (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sec (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (0 + \sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 5

Addiere $0$ und $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

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Schritt 6.2.1.1

Subtrahiere $\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ von $\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

$\frac{1 (\sec (x) \tan (x)) + 0}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $1 (\sec (x) \tan (x))$ und $0$ .

$\frac{1 (\sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $\sec (x) \tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$