Analysis Beispiele

$y = \frac{3 \cos (x)}{5 x^{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 \cos (x)$ und $g (x) = 5 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{3} \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{5 x^{3} (3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{5 x^{3} (3 (- \sin (x))) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (5 (3 x^{2}))}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $5 x^{3}$ an.

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $15$ mit $- 3$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 \cos (x) x^{2}}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Stelle die Faktoren in $- 15 x^{3} \sin (x) - 45 \cos (x) x^{2}$ um.

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 {(x^{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{6}}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $15 x^{2}$ aus $- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $15 x^{2}$ aus $- 15 x^{3} \sin (x)$ heraus.

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x)) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{6}}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $15 x^{2}$ aus $- 45 x^{2} \cos (x)$ heraus.

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x)) + 15 x^{2} (- 3 \cos (x))}{25 x^{6}}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $15 x^{2}$ aus $15 x^{2} (- x \sin (x)) + 15 x^{2} (- 3 \cos (x))$ heraus.

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{25 x^{6}}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $25$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $5$ aus $15 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))$ heraus.

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{25 x^{6}}$

Schritt 5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25 x^{6}$ heraus.

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 (5 x^{6})}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 (5 x^{6})}$

Schritt 5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{5 x^{6}}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{6}$ .

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 x^{6}}$

Schritt 5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $5 x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{x^{2} (5 x^{4})}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{x^{2} (5 x^{4})}$

Schritt 5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x \sin (x)$ heraus.

$\frac{3 (- (x \sin (x)) - 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$

Schritt 5.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \cos (x)$ heraus.

$\frac{3 (- (x \sin (x)) - (3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

Schritt 5.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))$ heraus.

$\frac{3 (- (x \sin (x) + 3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

Schritt 5.10

Schreibe $- (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ als $- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ um.

$\frac{3 (- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

Schritt 5.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$