Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{8 x^{3} - 1}{2 x - 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 8 x^{3} - 1$ und $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 1] - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{3} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Schritt 3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{3}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(2 x - 1) (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(2 x - 1) (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2} + 0) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Addiere $24 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x (24 x^{2}) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x (24 x^{2}) - 1 (24 x^{2}) + (- (8 x^{3}) - - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x (24 x^{2}) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 \cdot 24 x \cdot x^{2} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 24 (x^{2} x) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 7.4.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 \cdot 24 (x^{2} x^{1}) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cdot 24 x^{2 + 1} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 \cdot 24 x^{3} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$\frac{48 x^{3} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4.1.4

Mutltipliziere $24$ mit $- 1$ .

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 8 x^{3} \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 16 x^{3} - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4.1.7

Multipliziere $- - 1 \cdot 2$ .

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Schritt 7.4.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 16 x^{3} + 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4.1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 16 x^{3} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.4.2

Subtrahiere $16 x^{3}$ von $48 x^{3}$ .

$\frac{32 x^{3} - 24 x^{2} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $2$ aus $32 x^{3} - 24 x^{2} + 2$ heraus.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $2$ aus $32 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (16 x^{3}) - 24 x^{2} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 24 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (16 x^{3}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (16 x^{3}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.5.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (16 x^{3}) + 2 (- 12 x^{2})$ heraus.

$\frac{2 (16 x^{3} - 12 x^{2}) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.5.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (16 x^{3} - 12 x^{2}) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (16 x^{3} - 12 x^{2} + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$