Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x) - \frac{x^{5}}{50}$

Schritt 1

Diese Ableitung konnte mithilfe der Quotientenregel nicht vervollständigt werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x) - \frac{x^{5}}{50}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x)]$ .

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{x^{5}}{10}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5} \ln (x)}{10}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Schritt 3.2

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{5} \ln (x)}{10}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{10} (x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Schritt 3.6

Kombiniere $x^{5}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x$ .

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Schritt 3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Schritt 3.7.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Schritt 3.7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Schritt 3.7.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{10} (\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Schritt 3.7.2.5

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$ .

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Schritt 4.1

Da $- \frac{1}{50}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{5}}{50}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - \frac{1}{50} (5 x^{4})$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - 5 (\frac{1}{50}) x^{4}$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{50}$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{- 5}{50} x^{4}$

Schritt 4.5

Kombiniere $\frac{- 5}{50}$ und $x^{4}$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{- 5 x^{4}}{50}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $50$ .

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x^{4}$ heraus.

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{5 (- x^{4})}{50}$

Schritt 4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $50$ heraus.

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{5 (- x^{4})}{5 (10)}$

Schritt 4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 10}$

Schritt 4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{- x^{4}}{10}$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - \frac{x^{4}}{10}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{1}{10} (\ln (x) (5 x^{4})) - \frac{x^{4}}{10}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{\ln (x)}{10} (5 x^{4}) - \frac{x^{4}}{10}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $5$ und $\frac{\ln (x)}{10}$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 \ln (x)}{10} x^{4} - \frac{x^{4}}{10}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $\frac{5 \ln (x)}{10}$ und $x^{4}$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 \ln (x) x^{4}}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $10$ .

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Schritt 5.2.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \ln (x) x^{4}$ heraus.

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 (\ln (x) x^{4})}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

Schritt 5.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 (\ln (x) x^{4})}{5 \cdot 2} - \frac{x^{4}}{10}$

Schritt 5.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 (\ln (x) x^{4})}{5 \cdot 2} - \frac{x^{4}}{10}$

Schritt 5.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{10}$

Schritt 5.2.5

Um $\frac{1}{10} x^{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{1}{10} x^{4} \cdot \frac{10}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

Schritt 5.2.6

Kombiniere $\frac{1}{10} x^{4}$ und $\frac{10}{10}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{1}{10} x^{4} \cdot 10}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

Schritt 5.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{1}{10} x^{4} \cdot 10 - x^{4}}{10}$

Schritt 5.2.8

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{x^{4}}{10} \cdot 10 - x^{4}}{10}$

Schritt 5.2.9

Kombiniere $\frac{x^{4}}{10}$ und $10$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{x^{4} \cdot 10}{10} - x^{4}}{10}$

Schritt 5.2.10

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{10 \cdot x^{4}}{10} - x^{4}}{10}$

Schritt 5.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.2.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{10 x^{4}}{10} - x^{4}}{10}$

Schritt 5.2.11.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{x^{4} - x^{4}}{10}$

Schritt 5.2.12

Subtrahiere $x^{4}$ von $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{0}{10}$

Schritt 5.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $10$ .

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Schritt 5.2.13.1

Faktorisiere $10$ aus $0$ heraus.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{10 (0)}{10}$

Schritt 5.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.13.2.1

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}$

Schritt 5.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}$

Schritt 5.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{0}{1}$

Schritt 5.2.13.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + 0$

Schritt 5.2.14

Addiere $\frac{\ln (x) x^{4}}{2}$ und $0$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{4} \ln (x)}{2}$