Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3 x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x^{2} \tan (x)$ und $g (x) = \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} \tan (x)] - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} \tan (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \tan (x)]$ .

$\frac{\sec (x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2} \tan (x)]) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (3 (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\sec (x) (3 (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x))) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sec (x) (3 (x^{2} \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) (2 x))) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sec (x) (3 x^{2} \sec^{2} (x) + 6 \tan (x) x) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{\sec (x) (3 x^{2} \sec^{2} (x) + 6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 7

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (3 x^{2} \sec^{2} (x) + 6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sec (x) (3 x^{2} \sec^{2} (x)) + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 \sec (x) x^{2} \sec^{2} (x) + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.2.1.2

Multipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.1.2.1

Bewege $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{3 (\sec^{2} (x) \sec (x)) x^{2} + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.2.1.2.2

Mutltipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $\sec (x)$ .

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Schritt 8.2.1.2.2.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{3 (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) x^{2} + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 {\sec (x)}^{2 + 1} x^{2} + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.2.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.2.1.5

Multipliziere $- 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

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Schritt 8.2.1.5.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.2.1.5.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.2.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.2.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.2.2

Stelle die Faktoren in $3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ um.

$\frac{3 x^{2} \sec^{3} (x) + 6 x \sec (x) \tan (x) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $3 x \sec (x)$ aus $3 x^{2} \sec^{3} (x) + 6 x \sec (x) \tan (x) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ heraus.

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $3 x \sec (x)$ aus $3 x^{2} \sec^{3} (x)$ heraus.

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x)) + 6 x \sec (x) \tan (x) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.3.1.2

Faktorisiere $3 x \sec (x)$ aus $6 x \sec (x) \tan (x)$ heraus.

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x)) + 3 x \sec (x) (2 \tan (x)) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.3.1.3

Faktorisiere $3 x \sec (x)$ aus $- 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ heraus.

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x)) + 3 x \sec (x) (2 \tan (x)) + 3 x \sec (x) (- x \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.3.1.4

Faktorisiere $3 x \sec (x)$ aus $3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x)) + 3 x \sec (x) (2 \tan (x))$ heraus.

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x) + 2 \tan (x)) + 3 x \sec (x) (- x \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.3.1.5

Faktorisiere $3 x \sec (x)$ aus $3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x) + 2 \tan (x)) + 3 x \sec (x) (- x \tan^{2} (x))$ heraus.

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x) + 2 \tan (x) - x \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.3.2

Bewege $- x \tan^{2} (x)$ .

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x) - x \tan^{2} (x) + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{3 x \sec (x) (x (\sec^{2} (x)) - x \tan^{2} (x) + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.3.4

Faktorisiere $x$ aus $- x \tan^{2} (x)$ heraus.

$\frac{3 x \sec (x) (x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x)) + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.3.5

Faktorisiere $x$ aus $x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x))$ heraus.

$\frac{3 x \sec (x) (x (\sec^{2} (x) - 1 \tan^{2} (x)) + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.3.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{3 x \sec (x) (x \cdot 1 + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.3.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x \sec (x) (x + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sec (x)$ und $\sec^{2} (x)$ .

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $3 x \sec (x) (x + 2 \tan (x))$ heraus.

$\frac{\sec (x) (3 x (x + 2 \tan (x)))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.2.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (3 x (x + 2 \tan (x)))}{\sec (x) \sec (x)}$

Schritt 8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec (x) (3 x (x + 2 \tan (x)))}{\sec (x) \sec (x)}$

Schritt 8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x (x + 2 \tan (x))}{\sec (x)}$