Analysis Beispiele

$F (x) = \frac{x^{3} + 27}{x + 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3} + 27$ und $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.4

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.8

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x^{2}) + 3 (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x^{2}) + 3 (3 x^{2}) + (- x^{3} - 1 \cdot 27) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x^{2}) + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5

Multipliziere $- 1 \cdot 27 \cdot 1$ .

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Schritt 3.4.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} - x^{3} - 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5.2

Mutltipliziere $- 27$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} - x^{3} - 27}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $x^{3}$ von $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} + 9 x^{2} - 27}{{(x + 3)}^{2}}$