Analysis Beispiele

$\frac{1}{x + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $0$ .

$\frac{0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $- 1 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0 + 0 - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0 - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$