Analysis Beispiele

$\frac{8 x - 16}{x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 8 x - 16$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [8 x - 16] - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Schritt 3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} (8 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (8 + 0) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 4.2

Addiere $8$ und $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x - 16) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} \cdot 8 + (- (8 x) - - 16) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x) (2 x) - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{8 \cdot x^{2} - (8 x) (2 x) - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{8 x^{2} - (8 (x \cdot x)) \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{8 x^{2} - (8 x^{2}) \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x^{2} \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 32 x}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $16 x^{2}$ von $8 x^{2}$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{x^{4}}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $8 x$ aus $- 8 x^{2} + 32 x$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $8 x$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$\frac{8 x (- x) + 32 x}{x^{4}}$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $8 x$ aus $32 x$ heraus.

$\frac{8 x (- x) + 8 x (4)}{x^{4}}$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x (- x) + 8 x (4)$ heraus.

$\frac{8 x (- x + 4)}{x^{4}}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $x$ aus $8 x (- x + 4)$ heraus.

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x^{4}}$

Schritt 5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 (- x + 4)}{x^{3}}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{8 (- (x) + 4)}{x^{3}}$

Schritt 5.8

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 4))}{x^{3}}$

Schritt 5.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{8 (- (x - 4))}{x^{3}}$

Schritt 5.10

Schreibe $- (x - 4)$ als $- 1 (x - 4)$ um.

$\frac{8 (- 1 (x - 4))}{x^{3}}$

Schritt 5.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 (x - 4)}{x^{3}}$