Analysis Beispiele

$\frac{x + 8}{x - 2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 8$ und $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x + 8] - (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 2) (1 + 0) - (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 8) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.8

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 8) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 1 - 2 \cdot 1 - (x + 8) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 1 - 2 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 8) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 1 - 2 \cdot 1 - x \cdot 1 - 1 \cdot 8 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x - 2 \cdot 1 - x \cdot 1 - 1 \cdot 8 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{x - 2 - x \cdot 1 - 1 \cdot 8 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 2 - x - 1 \cdot 8 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Multipliziere $- 1 \cdot 8 \cdot 1$ .

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Schritt 3.4.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{x - 2 - x - 8 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{x - 2 - x - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 - x - 8$ .

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 - 2 - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{- 2 - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $8$ von $- 2$ .

$\frac{- 10}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{{(x - 2)}^{2}}$