Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{\frac{3}{4}} + 4 x^{- \frac{1}{4}}$

Schritt 1

Diese Ableitung konnte mithilfe der Produktregel nicht vervollständigt werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{\frac{3}{4}} + 4 x^{- \frac{1}{4}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{4}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{3}{4}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{4}$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$2 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 3.9

Kombiniere $2$ und $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{2 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{4 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 3.12

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (3)}{4 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{\frac{1}{4}}$ heraus.

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{\frac{1}{4}})} + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{\frac{1}{4}})} + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$ .

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Schritt 4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{- \frac{1}{4}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{4}}]$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1})$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}})$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}})$

Schritt 4.8

Kombiniere $x^{- \frac{5}{4}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4})$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} - 4 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Schritt 4.10

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{- 4 x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Schritt 4.11

Bringe $x^{- \frac{5}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{- 4}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 4.12

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{4 \cdot - 1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 4.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.13.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{\frac{5}{4}}$ heraus.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (x^{\frac{5}{4}})}$

Schritt 4.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{4 \cdot - 1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 4.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{- 1}{x^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 4.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{x^{\frac{5}{4}}}$