Analysis Beispiele

$y = (5 x^{2} - 1) (4 x + 3)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 5 x^{2} - 1$ und $g (x) = 4 x + 3$ .

$(5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 3] + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(5 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Schritt 4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 + 0) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Schritt 4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + 0)$

Schritt 6.2

Addiere $10 x$ und $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

Schritt 7.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 x^{2} - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$20 x^{2} - 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x \cdot x + 3 (10 x)$

Schritt 7.3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x) + 3 (10 x)$

Schritt 7.3.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x^{1}) + 3 (10 x)$

Schritt 7.3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{1 + 1} + 3 (10 x)$

Schritt 7.3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 3 (10 x)$

Schritt 7.3.8

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 30 x$

Schritt 7.3.9

Addiere $20 x^{2}$ und $40 x^{2}$ .

$60 x^{2} - 4 + 30 x$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$60 x^{2} + 30 x - 4$