Analysis Beispiele

$y = - x^{3} (3 x^{4} - 2)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - x^{3}$ und $g (x) = 3 x^{4} - 2$ .

$- x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2] + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- x^{3} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- x^{3} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- x^{3} (12 x^{3} + 0) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 4.2

Addiere $12 x^{3}$ und $0$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 4.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- (3 x^{2}))$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- 3 x^{2})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{3} (12 x^{3}) + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$- 12 x^{3} x^{3} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Schritt 5.2.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$- 12 (x^{3} x^{3}) + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Schritt 5.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 12 x^{3 + 3} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $3$ und $3$ .

$- 12 x^{6} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{4} x^{2} - 2 (- 3 x^{2})$

Schritt 5.2.4

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 12 x^{6} - 9 (x^{2} x^{4}) - 2 (- 3 x^{2})$

Schritt 5.2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 12 x^{6} - 9 x^{2 + 4} - 2 (- 3 x^{2})$

Schritt 5.2.4.3

Addiere $2$ und $4$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} - 2 (- 3 x^{2})$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} + 6 x^{2}$

Schritt 5.2.6

Subtrahiere $9 x^{6}$ von $- 12 x^{6}$ .

$- 21 x^{6} + 6 x^{2}$