Analysis Beispiele

$y = \frac{a}{2} \cdot (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \frac{a}{2}$ und $g (x) = e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}$ .

$\frac{a}{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}] + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]$ .

$\frac{a}{2} (\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}}]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{x}{a}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{x}{a}$ .

$\frac{a}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{a}{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{x}{a}$ .

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 3.2

Da $\frac{1}{a}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{a}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} (\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{a}$ mit $1$ .

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} \frac{1}{a} + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 3.5

Kombiniere $e^{\frac{x}{a}}$ und $\frac{1}{a}$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]$ .

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{d}{d x} [- e^{- \frac{x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 4.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- \frac{x}{a}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{a}}]$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x}{a}$ .

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Schritt 4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- \frac{x}{a}$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{a}])) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{a}])) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 4.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- \frac{x}{a}$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{a}])) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 4.4

Da $- \frac{1}{a}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{a}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} (- \frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]))) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} (- \frac{1}{a} \cdot 1))) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} (- \frac{1}{a}))) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 4.7

Kombiniere $e^{- \frac{x}{a}}$ und $\frac{1}{a}$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - - \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + 1 \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $\frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}$ mit $1$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Schritt 5

Da $\frac{a}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{a}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \cdot 0$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a}{2} \cdot \frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \cdot 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a}{2} \cdot \frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Schritt 6.3

Vereine die Terme

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{a}{2}$ mit $\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a}$ .

$\frac{a e^{\frac{x}{a}}}{2 a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a e^{\frac{x}{a}}}{2 a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Schritt 6.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $\frac{a}{2}$ mit $\frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{a e^{- \frac{x}{a}}}{2 a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Schritt 6.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 6.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{a e^{- \frac{x}{a}}}{2 a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Schritt 6.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Schritt 6.3.5

Mutltipliziere $e^{\frac{x}{a}}$ mit $0$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Schritt 6.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 - e^{- \frac{x}{a}} \cdot 0$

Schritt 6.3.7

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 + 0 e^{- \frac{x}{a}}$

Schritt 6.3.8

Mutltipliziere $0$ mit $e^{- \frac{x}{a}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 + 0$

Schritt 6.3.9

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0$

Schritt 6.3.10

Addiere $\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2}$ und $0$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2}$