Analysis Beispiele

$y = {(5 x - 3)}^{4} {(6 x + 7)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(5 x - 3)}^{4}$ und $g (x) = {(6 x + 7)}^{2}$ .

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 7)}^{2}] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 2

Schreibe ${(6 x + 7)}^{2}$ als $(6 x + 7) (6 x + 7)$ um.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [(6 x + 7) (6 x + 7)] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 3

Multipliziere $(6 x + 7) (6 x + 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x (6 x + 7) + 7 (6 x + 7)] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x + 7)] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.1

Bewege $x$ .

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x^{2} + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 42 x + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 42 x + 42 x + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 42 x + 42 x + 49] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 4.2

Addiere $42 x$ und $42 x$ .

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 84 x + 49] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $36 x^{2} + 84 x + 49$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

${(5 x - 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 5.2

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36 x^{2}$ nach $x$ gleich $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

${(5 x - 3)}^{4} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

${(5 x - 3)}^{4} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 5.5

Da $84$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $84 x$ nach $x$ gleich $84 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $84$ mit $1$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 5.8

Da $49$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $49$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 + 0) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 5.9

Addiere $72 x + 84$ und $0$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 5 x - 3$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x - 3$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x - 3])$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 3])$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x - 3$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 3])$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 7.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 7.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 + 0))$

Schritt 7.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.6.1

Addiere $5$ und $0$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} \cdot 5)$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (20 {(5 x - 3)}^{3})$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Bringe $20$ auf die linke Seite von ${(6 x + 7)}^{2}$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + 20 \cdot {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$

Schritt 8.2

Faktorisiere ${(5 x - 3)}^{3}$ aus ${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + 20 {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$ heraus.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere ${(5 x - 3)}^{3}$ aus ${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84)$ heraus.

${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84)) + 20 {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$

Schritt 8.2.2

Faktorisiere ${(5 x - 3)}^{3}$ aus $20 {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$ heraus.

${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84)) + {(5 x - 3)}^{3} (20 {(6 x + 7)}^{2})$

Schritt 8.2.3

Faktorisiere ${(5 x - 3)}^{3}$ aus ${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84)) + {(5 x - 3)}^{3} (20 {(6 x + 7)}^{2})$ heraus.

${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84) + 20 {(6 x + 7)}^{2})$