Analysis Beispiele

$y = 7 x^{2} {(3 x + 9)}^{4}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 7 x^{2}$ und $g (x) = {(3 x + 9)}^{4}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x + 9)}^{4}] + {(3 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 3 x + 9$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x + 9$ .

$7 x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 x + 9]) + {(3 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$7 x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 9]) + {(3 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 9$ .

$7 x^{2} (4 {(3 x + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 9]) + {(3 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$7 x^{2} (4 {(3 x + 9)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9])) + {(3 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 x^{2} (4 {(3 x + 9)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])) + {(3 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 x^{2} (4 {(3 x + 9)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])) + {(3 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$7 x^{2} (4 {(3 x + 9)}^{3} (3 + \frac{d}{d x} [9])) + {(3 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 3.5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 x^{2} (4 {(3 x + 9)}^{3} (3 + 0)) + {(3 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$7 x^{2} (4 {(3 x + 9)}^{3} \cdot 3) + {(3 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$7 x^{2} (12 {(3 x + 9)}^{3}) + {(3 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Schritt 3.7

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 x^{2} (12 {(3 x + 9)}^{3}) + {(3 x + 9)}^{4} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 x^{2} (12 {(3 x + 9)}^{3}) + {(3 x + 9)}^{4} (7 (2 x))$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$7 x^{2} (12 {(3 x + 9)}^{3}) + {(3 x + 9)}^{4} (14 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $12$ mit $7$ .

$84 x^{2} {(3 x + 9)}^{3} + {(3 x + 9)}^{4} (14 x)$

Schritt 4.2

Bringe $14$ auf die linke Seite von ${(3 x + 9)}^{4}$ .

$84 x^{2} {(3 x + 9)}^{3} + 14 \cdot {(3 x + 9)}^{4} x$

Schritt 4.3

Faktorisiere $14 x {(3 x + 9)}^{3}$ aus $84 x^{2} {(3 x + 9)}^{3} + 14 {(3 x + 9)}^{4} x$ heraus.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $14 x {(3 x + 9)}^{3}$ aus $84 x^{2} {(3 x + 9)}^{3}$ heraus.

$14 x {(3 x + 9)}^{3} (6 x) + 14 {(3 x + 9)}^{4} x$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $14 x {(3 x + 9)}^{3}$ aus $14 {(3 x + 9)}^{4} x$ heraus.

$14 x {(3 x + 9)}^{3} (6 x) + 14 x {(3 x + 9)}^{3} (3 x + 9)$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $14 x {(3 x + 9)}^{3}$ aus $14 x {(3 x + 9)}^{3} (6 x) + 14 x {(3 x + 9)}^{3} (3 x + 9)$ heraus.

$14 x {(3 x + 9)}^{3} (6 x + 3 x + 9)$

Schritt 4.4

Addiere $6 x$ und $3 x$ .

$14 x {(3 x + 9)}^{3} (9 x + 9)$