Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{2} e^{x} - 1 \cdot 2 e^{x} x}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Stelle die Faktoren in $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x$ um.

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}}{x^{4}}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x}{x^{4}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $x$ aus $e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x$ heraus.

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Schritt 4.4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $e^{x} x^{2}$ heraus.

$\frac{x (e^{x} x) - 2 e^{x} x}{x^{4}}$

Schritt 4.4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 e^{x} x$ heraus.

$\frac{x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})}{x^{4}}$

Schritt 4.4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})$ heraus.

$\frac{x (e^{x} x - 2 e^{x})}{x^{4}}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x - 2 e^{x}$ heraus.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x$ heraus.

$\frac{x (e^{x} (x) - 2 e^{x})}{x^{4}}$

Schritt 4.4.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 2 e^{x}$ heraus.

$\frac{x (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2)}{x^{4}}$

Schritt 4.4.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ heraus.

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x^{4}}$

$\frac{x e^{x} (x - 2)}{x^{4}}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x e^{x} (x - 2)$ heraus.

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x^{4}}$

Schritt 4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{x} (x - 2)}{x^{3}}$