Analysis Beispiele

$\frac{1 - 14 t}{{(7 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = 1 - 14 t$ und $g (t) = {(7 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 - 14 t] - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [{(7 t)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 14 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 14 t]$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 14 t]) - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [{(7 t)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d t} [- 14 t]) - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [{(7 t)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [- 14 t]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 14$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 14 t$ nach $t$ gleich $- 14 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} (0 - 14 \frac{d}{d t} [t]) - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [{(7 t)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} (0 - 14 \cdot 1) - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [{(7 t)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 14$ mit $1$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} (0 - 14) - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [{(7 t)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $14$ von $0$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [{(7 t)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7 t$ heraus.

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [{(7 (t))}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Produktregel auf $7 (t)$ an.

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3

Da $7^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11

Kombiniere $7^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12

Bringe $t^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Wende die Produktregel auf $7 t$ an.

$\frac{7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.2

Wende die Produktregel auf $7 t$ an.

$\frac{7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.3

Wende die Produktregel auf $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ an.

$\frac{7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 + (- 1 \cdot 1 - (- 14 t)) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - 1 \cdot 1 \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - (- 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.6.1

Bringe $- 14$ auf die linke Seite von $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 14 \cdot (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - (- 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - (- 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.3

Schreibe $- 1 \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ als $- \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ um.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - (- 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.4

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 1$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 14 t \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.6.5.1

Faktorisiere $2$ aus $14 t$ heraus.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 2 (7 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 t^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 2 (7 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 (t^{\frac{1}{2}})}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 2 (7 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 7 t \frac{7^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.6

Kombiniere $7$ und $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{7 \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.7

Multipliziere $7$ mit $7^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.6.7.1

Mutltipliziere $7$ mit $7^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 13.6.7.1.1

Potenziere $7$ mit $1$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{7^{1} \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{7^{1 + \frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.7.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{7^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{7^{\frac{2 + 1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.7.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{7^{\frac{3}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.8

Kombiniere $t$ und $\frac{7^{\frac{3}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.9

Bringe $t^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \cdot 7^{\frac{3}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.10

Multipliziere $t$ mit $t^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.6.10.1

Bewege $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{- \frac{1}{2}} t \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.10.2

Mutltipliziere $t^{- \frac{1}{2}}$ mit $t$ .

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Schritt 13.6.10.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{- \frac{1}{2}} t^{1} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.10.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.10.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.6.10.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.7

Vereine die Terme

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Schritt 13.7.1

Multipliziere die Exponenten in ${(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 13.7.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.7.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.7.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{1} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.7.2

Berechne den Exponenten.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.7.3

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 13.7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 13.7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 13.7.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7 t^{1}}$

Schritt 13.7.4

Vereinfache.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7 t}$

Schritt 13.8

Stelle die Terme um.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.9.1

Um $- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} - 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.2

Kombiniere $- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.9.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.4.2

Multipliziere $t^{\frac{1}{2}}$ mit $t^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.9.4.2.1

Bewege $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 2 t^{\frac{1 + 1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.4.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 2 t^{\frac{2}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.4.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 2 t^{1} - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.4.3

Vereinfache $- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 2 t^{1}$ .

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 2 t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 14$ .

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.5

Um $7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.6

Kombiniere $7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.9.8.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.8.2

Multipliziere $t^{\frac{1}{2}}$ mit $t^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.9.8.2.1

Bewege $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} \cdot 2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} \cdot 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.8.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} \cdot 2 t^{\frac{1 + 1}{2}} - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.8.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} \cdot 2 t^{\frac{2}{2}} - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.8.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} \cdot 2 t^{1} - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.8.3

Vereinfache $7^{\frac{3}{2}} \cdot 2 t^{1}$ .

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} \cdot 2 t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.9.8.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $7^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Schritt 13.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{7 t}$

Schritt 13.11

Multipliziere $\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{7 t}$ .

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Schritt 13.11.1

Mutltipliziere $\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{7 t}$ .

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (7 t)}$

Schritt 13.11.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{14 t^{\frac{1}{2}} t}$

Schritt 13.11.3

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{14 (t^{1} t^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 13.11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{14 t^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 13.11.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{14 t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 13.11.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{14 t^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 13.11.7

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{14 t^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.12

Stelle die Faktoren in $\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{14 t^{\frac{3}{2}}}$ um.

$\frac{2 t \cdot 7^{\frac{3}{2}} - 28 t \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}}{14 t^{\frac{3}{2}}}$