Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\cos (t)}{t^{5}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = t^{5}$ .

$\frac{t^{5} \frac{d}{d t} [\cos (t)] - \cos (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]}{{(t^{5})}^{2}}$

Schritt 2

Die Ableitung von $\cos (t)$ nach $t$ ist $- \sin (t)$ .

$\frac{t^{5} (- \sin (t)) - \cos (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]}{{(t^{5})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{t^{5} (- \sin (t)) - \cos (t) (5 t^{4})}{{(t^{5})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- t^{5} \sin (t) - \cos (t) (5 t^{4})}{{(t^{5})}^{2}}$

Schritt 4.1.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 \cos (t) t^{4}}{{(t^{5})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Stelle die Faktoren in $- t^{5} \sin (t) - 5 \cos (t) t^{4}$ um.

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{{(t^{5})}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{5})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{5 \cdot 2}}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{10}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $t^{4}$ aus $- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)$ heraus.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $t^{4}$ aus $- t^{5} \sin (t)$ heraus.

$\frac{t^{4} (- t \sin (t)) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{10}}$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $t^{4}$ aus $- 5 t^{4} \cos (t)$ heraus.

$\frac{t^{4} (- t \sin (t)) + t^{4} (- 5 \cos (t))}{t^{10}}$

Schritt 4.2.2.3

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{4} (- t \sin (t)) + t^{4} (- 5 \cos (t))$ heraus.

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{10}}$

Schritt 4.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{10}$ heraus.

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{4} t^{6}}$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{4} t^{6}}$

Schritt 4.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- t \sin (t) - 5 \cos (t)}{t^{6}}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- t \sin (t)$ heraus.

$\frac{- (t \sin (t)) - 5 \cos (t)}{t^{6}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 \cos (t)$ heraus.

$\frac{- (t \sin (t)) - (5 \cos (t))}{t^{6}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t \sin (t)) - (5 \cos (t))$ heraus.

$\frac{- (t \sin (t) + 5 \cos (t))}{t^{6}}$

Schritt 4.6

Schreibe $- (t \sin (t) + 5 \cos (t))$ als $- 1 (t \sin (t) + 5 \cos (t))$ um.

$\frac{- 1 (t \sin (t) + 5 \cos (t))}{t^{6}}$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{t \sin (t) + 5 \cos (t)}{t^{6}}$