Analysis Beispiele

$\frac{t \sin (t)}{1 + t}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t \sin (t)$ und $g (t) = 1 + t$ .

$\frac{(1 + t) \frac{d}{d t} [t \sin (t)] - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = \sin (t)$ .

$\frac{(1 + t) (t \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (t)$ nach $t$ ist $\cos (t)$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t) \cdot 1) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 4.4

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (0 + 1)}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 4.6

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Multipliziere $(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (t \cos (t) + \sin (t)) + t (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 5.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (t \cos (t)) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 5.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (t \cos (t)) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 5.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.2.1

Mutltipliziere $t \cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{t \cos (t) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 5.1.1.2.2

Mutltipliziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 5.1.1.2.3

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.1.2.3.1

Bewege $t$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t \cdot t \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 5.1.1.2.3.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 5.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)$ .

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Schritt 5.1.2.1

Subtrahiere $t \sin (t)$ von $t \sin (t)$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + 0}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.2

Addiere $t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t)$ und $0$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{t \cos (t) + t^{2} \cos (t) + \sin (t)}{{(t + 1)}^{2}}$