Analysis Beispiele

$\frac{18 t}{t^{2} + 81}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = 18 t$ und $g (t) = t^{2} + 81$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \frac{d}{d t} [18 t] - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $18$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $18 t$ nach $t$ gleich $18 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{2} + 81) (18 \frac{d}{d t} [t]) - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 81) (18 \cdot 1) - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $18$ mit $1$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 81$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [81]$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [81])}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t + \frac{d}{d t} [81])}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $81$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $81$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 2.7

Addiere $2 t$ und $0$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{2} \cdot 18 + 81 \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Bringe $18$ auf die linke Seite von $t^{2}$ .

$\frac{18 \cdot t^{2} + 81 \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $81$ mit $18$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.4.1

Bewege $t$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 (t \cdot t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5

Multipliziere $- 1 \cdot 18 \cdot 2$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 18 \cdot 2 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 18$ mit $2$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 36 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $36 t^{2}$ von $18 t^{2}$ .

$\frac{- 18 t^{2} + 1458}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $18$ aus $- 18 t^{2} + 1458$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $18$ aus $- 18 t^{2}$ heraus.

$\frac{18 (- t^{2}) + 1458}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $18$ aus $1458$ heraus.

$\frac{18 (- t^{2}) + 18 (81)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $18$ aus $18 (- t^{2}) + 18 (81)$ heraus.

$\frac{18 (- t^{2} + 81)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{18 (- t^{2} + 9^{2})}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Stelle $- t^{2}$ und $9^{2}$ um.

$\frac{18 (9^{2} - t^{2})}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 9$ und $b = t$ .

$\frac{18 (9 + t) (9 - t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$