Analysis Beispiele

$\frac{w^{2} + 1}{w^{2} - w - 6}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ gleich $\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ ist mit $f (w) = w^{2} + 1$ und $g (w) = w^{2} - w - 6$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) \frac{d}{d w} [w^{2} + 1] - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $w^{2} + 1$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [1]$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [1]) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w + \frac{d}{d w} [1]) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w + 0) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 2.4

Addiere $2 w$ und $0$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $w^{2} - w - 6$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6]$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d w} [- w]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $- w$ nach $w$ gleich $- \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 + 0)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 4.2

Addiere $2 w - 1$ und $0$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{w^{2} (2 w) - w (2 w) - 6 (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{w^{2} (2 w) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 w^{2} w - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $w^{2}$ mit $w$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.2.1

Bewege $w$ .

$\frac{2 (w \cdot w^{2}) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.2

Mutltipliziere $w$ mit $w^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.2.2.1

Potenziere $w$ mit $1$ .

$\frac{2 (w^{1} w^{2}) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 w^{1 + 2} - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 w^{3} - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 w \cdot w - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.4

Multipliziere $w$ mit $w$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.4.1

Bewege $w$ .

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 (w \cdot w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.4.2

Mutltipliziere $w$ mit $w$ .

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 w^{2} - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w + (- w^{2} - 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.8

Multipliziere $(- w^{2} - 1) (2 w - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w - 1) - 1 (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.9.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{2} w - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.9.2

Multipliziere $w^{2}$ mit $w$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.9.2.1

Bewege $w$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 (w \cdot w^{2}) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.9.2.2

Mutltipliziere $w$ mit $w^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.9.2.2.1

Potenziere $w$ mit $1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 (w^{1} w^{2}) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.9.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{1 + 2} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.9.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{3} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.9.4

Multipliziere $- w^{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 5.3.1.9.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + 1 w^{2} - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.9.4.2

Mutltipliziere $w^{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.9.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.9.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w + 1$ .

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $2 w^{3}$ von $2 w^{3}$ .

$\frac{- 2 w^{2} - 12 w + 0 + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $- 2 w^{2} - 12 w$ und $0$ .

$\frac{- 2 w^{2} - 12 w + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Addiere $- 2 w^{2}$ und $w^{2}$ .

$\frac{- w^{2} - 12 w - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.3.4

Subtrahiere $2 w$ von $- 12 w$ .

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $w^{2} - w - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.4.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 5.4.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{((w - 3) (w + 2))}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Wende die Produktregel auf $(w - 3) (w + 2)$ an.

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- w^{2}$ heraus.

$\frac{- (w^{2}) - 14 w + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 14 w$ heraus.

$\frac{- (w^{2}) - (14 w) + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (w^{2}) - (14 w)$ heraus.

$\frac{- (w^{2} + 14 w) + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Schritt 5.8

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- (w^{2} + 14 w) - 1 (- 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Schritt 5.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (w^{2} + 14 w) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (w^{2} + 14 w - 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Schritt 5.10

Schreibe $- (w^{2} + 14 w - 1)$ als $- 1 (w^{2} + 14 w - 1)$ um.

$\frac{- 1 (w^{2} + 14 w - 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Schritt 5.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{w^{2} + 14 w - 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$