Analysis Beispiele

$\frac{(2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5)}{u^{2} + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ gleich $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ ist mit $f (u) = (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5)$ und $g (u) = u^{2} + 1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) \frac{d}{d u} [(2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5)] - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ gleich $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ ist mit $f (u) = 2 u^{3} + 7$ und $g (u) = 3 u^{2} - 5$ .

$\frac{(u^{2} + 1) ((2 u^{3} + 7) \frac{d}{d u} [3 u^{2} - 5] + (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [2 u^{3} + 7]) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 u^{2} - 5$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [3 u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 5]$ .

$\frac{(u^{2} + 1) ((2 u^{3} + 7) (\frac{d}{d u} [3 u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 5]) + (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [2 u^{3} + 7]) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $3 u^{2}$ nach $u$ gleich $3 \frac{d}{d u} [u^{2}]$ .

$\frac{(u^{2} + 1) ((2 u^{3} + 7) (3 \frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 5]) + (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [2 u^{3} + 7]) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(u^{2} + 1) ((2 u^{3} + 7) (3 (2 u) + \frac{d}{d u} [- 5]) + (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [2 u^{3} + 7]) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{(u^{2} + 1) ((2 u^{3} + 7) (6 u + \frac{d}{d u} [- 5]) + (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [2 u^{3} + 7]) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$\frac{(u^{2} + 1) ((2 u^{3} + 7) (6 u + 0) + (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [2 u^{3} + 7]) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $6 u$ und $0$ .

$\frac{(u^{2} + 1) ((2 u^{3} + 7) (6 u) + (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [2 u^{3} + 7]) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $2 u^{3} + 7$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (6 \cdot (2 u^{3} + 7) u + (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [2 u^{3} + 7]) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 u^{3} + 7$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [2 u^{3}] + \frac{d}{d u} [7]$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (6 (2 u^{3} + 7) u + (3 u^{2} - 5) (\frac{d}{d u} [2 u^{3}] + \frac{d}{d u} [7])) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $2 u^{3}$ nach $u$ gleich $2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (6 (2 u^{3} + 7) u + (3 u^{2} - 5) (2 \frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [7])) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (6 (2 u^{3} + 7) u + (3 u^{2} - 5) (2 (3 u^{2}) + \frac{d}{d u} [7])) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (6 (2 u^{3} + 7) u + (3 u^{2} - 5) (6 u^{2} + \frac{d}{d u} [7])) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11

Da $7$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (6 (2 u^{3} + 7) u + (3 u^{2} - 5) (6 u^{2} + 0)) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.12.1

Addiere $6 u^{2}$ und $0$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (6 (2 u^{3} + 7) u + (3 u^{2} - 5) (6 u^{2})) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.12.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $3 u^{2} - 5$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (6 (2 u^{3} + 7) u + 6 \cdot (3 u^{2} - 5) u^{2}) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(u^{2} + 1) ((6 (2 u^{3}) + 6 \cdot 7) u + 6 (3 u^{2} - 5) u^{2}) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(u^{2} + 1) (6 (2 u^{3}) u + 6 \cdot 7 u + 6 (3 u^{2} - 5) u^{2}) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(u^{2} + 1) (6 (2 u^{3}) u + 6 \cdot 7 u + (6 (3 u^{2}) + 6 \cdot - 5) u^{2}) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(u^{2} + 1) (6 (2 u^{3}) u + 6 \cdot 7 u + 6 (3 u^{2}) u^{2} + 6 \cdot - 5 u^{2}) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5

Vereine die Terme

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (12 u^{3} u + 6 \cdot 7 u + 6 (3 u^{2}) u^{2} + 6 \cdot - 5 u^{2}) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (12 (u^{1} u^{3}) + 6 \cdot 7 u + 6 (3 u^{2}) u^{2} + 6 \cdot - 5 u^{2}) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(u^{2} + 1) (12 u^{1 + 3} + 6 \cdot 7 u + 6 (3 u^{2}) u^{2} + 6 \cdot - 5 u^{2}) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.4

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (12 u^{4} + 6 \cdot 7 u + 6 (3 u^{2}) u^{2} + 6 \cdot - 5 u^{2}) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.5

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (12 u^{4} + 42 u + 6 (3 u^{2}) u^{2} + 6 \cdot - 5 u^{2}) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.6

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (12 u^{4} + 42 u + 18 u^{2} u^{2} + 6 \cdot - 5 u^{2}) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.7

Multipliziere $u^{2}$ mit $u^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.7.1

Bewege $u^{2}$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (12 u^{4} + 42 u + 18 (u^{2} u^{2}) + 6 \cdot - 5 u^{2}) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(u^{2} + 1) (12 u^{4} + 42 u + 18 u^{2 + 2} + 6 \cdot - 5 u^{2}) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.7.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (12 u^{4} + 42 u + 18 u^{4} + 6 \cdot - 5 u^{2}) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.8

Mutltipliziere $6$ mit $- 5$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (12 u^{4} + 42 u + 18 u^{4} - 30 u^{2}) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.9

Addiere $12 u^{4}$ und $18 u^{4}$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (30 u^{4} + 42 u - 30 u^{2}) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.6

Stelle die Terme um.

$\frac{(u^{2} + 1) (30 u^{4} - 30 u^{2} + 42 u) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) \frac{d}{d u} [u^{2} + 1]}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u^{2} + 1$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (30 u^{4} - 30 u^{2} + 42 u) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1])}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (30 u^{4} - 30 u^{2} + 42 u) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) (2 u + \frac{d}{d u} [1])}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 7

Da $1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (30 u^{4} - 30 u^{2} + 42 u) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) (2 u + 0)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 8

Addiere $2 u$ und $0$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (30 u^{4} - 30 u^{2} + 42 u) - (2 u^{3} + 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(u^{2} + 1) (30 u^{4} - 30 u^{2} + 42 u) + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Multipliziere $(u^{2} + 1) (30 u^{4} - 30 u^{2} + 42 u)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{u^{2} (30 u^{4}) + u^{2} (- 30 u^{2}) + u^{2} (42 u) + 1 (30 u^{4}) + 1 (- 30 u^{2}) + 1 (42 u) + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{30 u^{2} u^{4} + u^{2} (- 30 u^{2}) + u^{2} (42 u) + 1 (30 u^{4}) + 1 (- 30 u^{2}) + 1 (42 u) + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.2

Multipliziere $u^{2}$ mit $u^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.1.2.2.1

Bewege $u^{4}$ .

$\frac{30 (u^{4} u^{2}) + u^{2} (- 30 u^{2}) + u^{2} (42 u) + 1 (30 u^{4}) + 1 (- 30 u^{2}) + 1 (42 u) + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{30 u^{4 + 2} + u^{2} (- 30 u^{2}) + u^{2} (42 u) + 1 (30 u^{4}) + 1 (- 30 u^{2}) + 1 (42 u) + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.2.3

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{30 u^{6} + u^{2} (- 30 u^{2}) + u^{2} (42 u) + 1 (30 u^{4}) + 1 (- 30 u^{2}) + 1 (42 u) + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{30 u^{6} - 30 u^{2} u^{2} + u^{2} (42 u) + 1 (30 u^{4}) + 1 (- 30 u^{2}) + 1 (42 u) + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.4

Multipliziere $u^{2}$ mit $u^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.1.2.4.1

Bewege $u^{2}$ .

$\frac{30 u^{6} - 30 (u^{2} u^{2}) + u^{2} (42 u) + 1 (30 u^{4}) + 1 (- 30 u^{2}) + 1 (42 u) + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{30 u^{6} - 30 u^{2 + 2} + u^{2} (42 u) + 1 (30 u^{4}) + 1 (- 30 u^{2}) + 1 (42 u) + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{30 u^{6} - 30 u^{4} + u^{2} (42 u) + 1 (30 u^{4}) + 1 (- 30 u^{2}) + 1 (42 u) + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{30 u^{6} - 30 u^{4} + 42 u^{2} u + 1 (30 u^{4}) + 1 (- 30 u^{2}) + 1 (42 u) + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.6

Multipliziere $u^{2}$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.1.2.6.1

Bewege $u$ .

$\frac{30 u^{6} - 30 u^{4} + 42 (u \cdot u^{2}) + 1 (30 u^{4}) + 1 (- 30 u^{2}) + 1 (42 u) + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.6.2

Mutltipliziere $u$ mit $u^{2}$ .

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Schritt 9.2.1.2.6.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{30 u^{6} - 30 u^{4} + 42 (u^{1} u^{2}) + 1 (30 u^{4}) + 1 (- 30 u^{2}) + 1 (42 u) + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{30 u^{6} - 30 u^{4} + 42 u^{1 + 2} + 1 (30 u^{4}) + 1 (- 30 u^{2}) + 1 (42 u) + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{30 u^{6} - 30 u^{4} + 42 u^{3} + 1 (30 u^{4}) + 1 (- 30 u^{2}) + 1 (42 u) + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.7

Mutltipliziere $30 u^{4}$ mit $1$ .

$\frac{30 u^{6} - 30 u^{4} + 42 u^{3} + 30 u^{4} + 1 (- 30 u^{2}) + 1 (42 u) + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.8

Mutltipliziere $- 30 u^{2}$ mit $1$ .

$\frac{30 u^{6} - 30 u^{4} + 42 u^{3} + 30 u^{4} - 30 u^{2} + 1 (42 u) + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.9

Mutltipliziere $42 u$ mit $1$ .

$\frac{30 u^{6} - 30 u^{4} + 42 u^{3} + 30 u^{4} - 30 u^{2} + 42 u + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $30 u^{6} - 30 u^{4} + 42 u^{3} + 30 u^{4} - 30 u^{2} + 42 u$ .

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Schritt 9.2.1.3.1

Addiere $- 30 u^{4}$ und $30 u^{4}$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} + 0 - 30 u^{2} + 42 u + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.3.2

Addiere $30 u^{6} + 42 u^{3}$ und $0$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + (- (2 u^{3}) - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) (2 u)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + 2 (- 1 \cdot 2 u^{3} - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + 2 (- 2 u^{3} - 1 \cdot 7) (3 u^{2} - 5) u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + 2 (- 2 u^{3} - 7) (3 u^{2} - 5) u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + (2 (- 2 u^{3}) + 2 \cdot - 7) (3 u^{2} - 5) u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + (- 4 u^{3} + 2 \cdot - 7) (3 u^{2} - 5) u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + (- 4 u^{3} - 14) (3 u^{2} - 5) u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.9

Multipliziere $(- 4 u^{3} - 14) (3 u^{2} - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.2.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + (- 4 u^{3} (3 u^{2} - 5) - 14 (3 u^{2} - 5)) u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + (- 4 u^{3} (3 u^{2}) - 4 u^{3} \cdot - 5 - 14 (3 u^{2} - 5)) u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + (- 4 u^{3} (3 u^{2}) - 4 u^{3} \cdot - 5 - 14 (3 u^{2}) - 14 \cdot - 5) u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.10.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + (- 4 \cdot 3 u^{3} u^{2} - 4 u^{3} \cdot - 5 - 14 (3 u^{2}) - 14 \cdot - 5) u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.10.2

Multipliziere $u^{3}$ mit $u^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.1.10.2.1

Bewege $u^{2}$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + (- 4 \cdot 3 (u^{2} u^{3}) - 4 u^{3} \cdot - 5 - 14 (3 u^{2}) - 14 \cdot - 5) u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + (- 4 \cdot 3 u^{2 + 3} - 4 u^{3} \cdot - 5 - 14 (3 u^{2}) - 14 \cdot - 5) u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.10.2.3

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + (- 4 \cdot 3 u^{5} - 4 u^{3} \cdot - 5 - 14 (3 u^{2}) - 14 \cdot - 5) u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.10.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + (- 12 u^{5} - 4 u^{3} \cdot - 5 - 14 (3 u^{2}) - 14 \cdot - 5) u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.10.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 4$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + (- 12 u^{5} + 20 u^{3} - 14 (3 u^{2}) - 14 \cdot - 5) u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.10.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 14$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + (- 12 u^{5} + 20 u^{3} - 42 u^{2} - 14 \cdot - 5) u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.10.6

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 5$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u + (- 12 u^{5} + 20 u^{3} - 42 u^{2} + 70) u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.11

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u - 12 u^{5} u + 20 u^{3} u - 42 u^{2} u + 70 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.12

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1.12.1

Multipliziere $u^{5}$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.1.12.1.1

Bewege $u$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u - 12 (u \cdot u^{5}) + 20 u^{3} u - 42 u^{2} u + 70 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.12.1.2

Mutltipliziere $u$ mit $u^{5}$ .

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Schritt 9.2.1.12.1.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u - 12 (u^{1} u^{5}) + 20 u^{3} u - 42 u^{2} u + 70 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.12.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u - 12 u^{1 + 5} + 20 u^{3} u - 42 u^{2} u + 70 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.12.1.3

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u - 12 u^{6} + 20 u^{3} u - 42 u^{2} u + 70 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.12.2

Multipliziere $u^{3}$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.1.12.2.1

Bewege $u$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u - 12 u^{6} + 20 (u \cdot u^{3}) - 42 u^{2} u + 70 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.12.2.2

Mutltipliziere $u$ mit $u^{3}$ .

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Schritt 9.2.1.12.2.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u - 12 u^{6} + 20 (u^{1} u^{3}) - 42 u^{2} u + 70 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.12.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u - 12 u^{6} + 20 u^{1 + 3} - 42 u^{2} u + 70 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.12.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u - 12 u^{6} + 20 u^{4} - 42 u^{2} u + 70 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.12.3

Multipliziere $u^{2}$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.1.12.3.1

Bewege $u$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u - 12 u^{6} + 20 u^{4} - 42 (u \cdot u^{2}) + 70 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.12.3.2

Mutltipliziere $u$ mit $u^{2}$ .

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Schritt 9.2.1.12.3.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u - 12 u^{6} + 20 u^{4} - 42 (u^{1} u^{2}) + 70 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.12.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u - 12 u^{6} + 20 u^{4} - 42 u^{1 + 2} + 70 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.12.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u - 12 u^{6} + 20 u^{4} - 42 u^{3} + 70 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $30 u^{6} + 42 u^{3} - 30 u^{2} + 42 u - 12 u^{6} + 20 u^{4} - 42 u^{3} + 70 u$ .

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Schritt 9.2.2.1

Subtrahiere $42 u^{3}$ von $42 u^{3}$ .

$\frac{30 u^{6} - 30 u^{2} + 42 u - 12 u^{6} + 20 u^{4} + 0 + 70 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $30 u^{6} - 30 u^{2} + 42 u - 12 u^{6} + 20 u^{4}$ und $0$ .

$\frac{30 u^{6} - 30 u^{2} + 42 u - 12 u^{6} + 20 u^{4} + 70 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.3

Subtrahiere $12 u^{6}$ von $30 u^{6}$ .

$\frac{18 u^{6} - 30 u^{2} + 42 u + 20 u^{4} + 70 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.4

Addiere $42 u$ und $70 u$ .

$\frac{18 u^{6} - 30 u^{2} + 20 u^{4} + 112 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$\frac{18 u^{6} + 20 u^{4} - 30 u^{2} + 112 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.4

Faktorisiere $2 u$ aus $18 u^{6} + 20 u^{4} - 30 u^{2} + 112 u$ heraus.

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $2 u$ aus $18 u^{6}$ heraus.

$\frac{2 u (9 u^{5}) + 20 u^{4} - 30 u^{2} + 112 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.4.2

Faktorisiere $2 u$ aus $20 u^{4}$ heraus.

$\frac{2 u (9 u^{5}) + 2 u (10 u^{3}) - 30 u^{2} + 112 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.4.3

Faktorisiere $2 u$ aus $- 30 u^{2}$ heraus.

$\frac{2 u (9 u^{5}) + 2 u (10 u^{3}) + 2 u (- 15 u) + 112 u}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.4.4

Faktorisiere $2 u$ aus $112 u$ heraus.

$\frac{2 u (9 u^{5}) + 2 u (10 u^{3}) + 2 u (- 15 u) + 2 u (56)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.4.5

Faktorisiere $2 u$ aus $2 u (9 u^{5}) + 2 u (10 u^{3})$ heraus.

$\frac{2 u (9 u^{5} + 10 u^{3}) + 2 u (- 15 u) + 2 u (56)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.4.6

Faktorisiere $2 u$ aus $2 u (9 u^{5} + 10 u^{3}) + 2 u (- 15 u)$ heraus.

$\frac{2 u (9 u^{5} + 10 u^{3} - 15 u) + 2 u (56)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.4.7

Faktorisiere $2 u$ aus $2 u (9 u^{5} + 10 u^{3} - 15 u) + 2 u (56)$ heraus.

$\frac{2 u (9 u^{5} + 10 u^{3} - 15 u + 56)}{{(u^{2} + 1)}^{2}}$