Analysis Beispiele

$\frac{\frac{1}{3} x^{3}}{3 x^{2} - 2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \frac{1}{3} x^{3}$ und $g (x) = 3 x^{2} - 2$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) (\frac{1}{3} (3 x^{2})) - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) (\frac{3}{3} x^{2}) - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) \frac{3 x^{2}}{3} - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 x^{2} - 2) \frac{3 x^{2}}{3} - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x + 0)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 4.2

Addiere $6 x$ und $0$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2 + 2} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 x^{3} x}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 (x \cdot x^{3})}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 5.2.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 (x^{1} x^{3})}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 x^{1 + 3}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} + \frac{- 1}{3} \cdot 6 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2)) x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2) x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - 2 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2 x^{4}$ von $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{2}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 2 x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{2} x^{2} - 2 x^{2}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 2}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 2$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 2)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$