Analysis Beispiele

$m (t) = - 7 t {(3 t^{4} - 1)}^{8}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = - 7 t$ und $g (t) = {(3 t^{4} - 1)}^{8}$ .

$- 7 t \frac{d}{d t} [{(3 t^{4} - 1)}^{8}] + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{8}$ und $g (t) = 3 t^{4} - 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 t^{4} - 1$ .

$- 7 t (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d t} [3 t^{4} - 1]) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$- 7 t (8 u^{7} \frac{d}{d t} [3 t^{4} - 1]) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 t^{4} - 1$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [3 t^{4} - 1]) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t^{4} - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t^{4}$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (3 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (3 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (12 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (12 t^{3} + 0)) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $12 t^{3}$ und $0$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (12 t^{3})) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $12$ mit $8$ .

$- 7 t (96 {(3 t^{4} - 1)}^{7} t^{3}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Schritt 3.6.3

Stelle die Faktoren von $96 {(3 t^{4} - 1)}^{7} t^{3}$ um.

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Schritt 3.7

Da $- 7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 7 t$ nach $t$ gleich $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} (- 7 \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} (- 7 \cdot 1)$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $96$ mit $- 7$ .

$- 672 t (t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

Schritt 4.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$- 672 (t^{3} t^{1}) {(3 t^{4} - 1)}^{7} + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 672 t^{3 + 1} {(3 t^{4} - 1)}^{7} + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

Schritt 4.4

Addiere $3$ und $1$ .

$- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7} + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

Schritt 4.5

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von ${(3 t^{4} - 1)}^{8}$ .

$- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7} - 7 \cdot {(3 t^{4} - 1)}^{8}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ aus $- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7} - 7 {(3 t^{4} - 1)}^{8}$ heraus.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ aus $- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ heraus.

$7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4}) - 7 {(3 t^{4} - 1)}^{8}$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ aus $- 7 {(3 t^{4} - 1)}^{8}$ heraus.

$7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4}) + 7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- (3 t^{4} - 1))$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ aus $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4}) + 7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- (3 t^{4} - 1))$ heraus.

$7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4} - (3 t^{4} - 1))$