Analysis Beispiele

$\sqrt[15]{7 x + 5}$

Schritt 1

Diese Ableitung konnte mithilfe der Produktregel nicht vervollständigt werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[15]{7 x + 5}$ als ${(7 x + 5)}^{\frac{1}{15}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(7 x + 5)}^{\frac{1}{15}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{15}}$ und $g (x) = 7 x + 5$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{15}}] \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{15}$ .

$\frac{1}{15} u^{\frac{1}{15} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $7 x + 5$ .

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{15}{15}$ .

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{1 - 15}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $15$ von $1$ .

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{- 14}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{15}$ und ${(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}$ .

$\frac{{(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}}{15} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Schritt 8.3

Bringe ${(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 10

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 12

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} (7 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 13

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} (7 + 0)$

Schritt 14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.1

Addiere $7$ und $0$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot 7$

Schritt 14.2

Kombiniere $\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$ und $7$ .

$\frac{7}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$