Analysis Beispiele

$9 \sqrt{x} \sin (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 9 \sqrt{x}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$9 \sqrt{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [9 \sqrt{x}]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$9 \sqrt{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [9 \sqrt{x}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$9 \sqrt{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$9 \sqrt{x} \cos (x) + \sin (x) (9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$9 \sqrt{x} \cos (x) + \sin (x) (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$9 \sqrt{x} \cos (x) + \sin (x) (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$9 \sqrt{x} \cos (x) + \sin (x) (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 \sqrt{x} \cos (x) + \sin (x) (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$9 \sqrt{x} \cos (x) + \sin (x) (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$9 \sqrt{x} \cos (x) + \sin (x) (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 \sqrt{x} \cos (x) + \sin (x) (9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 \sqrt{x} \cos (x) + \sin (x) (9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 10

Kombiniere $9$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$9 \sqrt{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \sqrt{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Vereine die Terme

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Schritt 12.1

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$9 \sqrt{x} \cos (x) + \frac{\sin (x) \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$9 \sqrt{x} \cos (x) + \frac{9 \sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$