Analysis Beispiele

$f (x) = (4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 \sqrt{x} + 5)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 4 x + 2 \sqrt{x} - 1$ und $g (x) = 4 \sqrt{x} + 5$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x} + 5] + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \sqrt{x} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 3.10

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 3.12

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) (\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 4.2

Addiere $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 2 \sqrt{x} - 1]$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 2 \sqrt{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 5.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6.10

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6.12

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6.13

Forme den Ausdruck um.

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Schritt 7.2

Addiere $4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$(4 x + 2 \sqrt{x} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8.2

Vereine die Terme

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x \frac{4 \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x \frac{8}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{8}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x \cdot 8}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8.2.4

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{8 \cdot x}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8.2.5

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$8 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8.2.6

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.6.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 (x^{- \frac{1}{2}} x) + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8.2.6.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 8.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$8 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}) + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 x^{- \frac{1}{2} + 1} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8.2.6.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$8 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8.2.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8.2.6.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{x} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8.2.7

Kombiniere $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $2$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8.2.9

Kombiniere $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $\sqrt{x}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8.2.10

Schreibe $- 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ als $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ um.

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8.2.11

Um $(4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{(4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.13

Um $8 x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.15

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.15.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.15.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.15.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.15.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{8 x^{\frac{2}{2}} + 4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.15.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{8 x^{1} + 4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.16

Vereinfache $8 x^{1}$ .

$\frac{8 x + 4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 x + 4 \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} + 5) (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}} - 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (4 \sqrt{x} + 5) + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (4 \sqrt{x} + 5) + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(4 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (4 \sqrt{x} + 5) + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 8.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (4 \sqrt{x} + 5) + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(4 \cdot x^{\frac{1}{2}} + 1) (4 \sqrt{x} + 5) + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.4

Multipliziere $(4 x^{\frac{1}{2}} + 1) (4 \sqrt{x} + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} (4 \sqrt{x} + 5) + 1 (4 \sqrt{x} + 5) + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} (4 \sqrt{x}) + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x} + 5) + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} (4 \sqrt{x}) + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.5.1

Multipliziere $4 x^{\frac{1}{2}} (4 \sqrt{x})$ .

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Schritt 8.4.5.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16 x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.5.1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{16 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{16 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.5.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{16 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.5.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{16 x^{\frac{2}{2}} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.5.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.5.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 x^{\frac{2}{2}} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.5.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16 x^{1} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.5.2

Vereinfache.

$\frac{16 x + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{16 x + 20 x^{\frac{1}{2}} + 1 (4 \sqrt{x}) + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.5.4

Mutltipliziere $4 \sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{16 x + 20 x^{\frac{1}{2}} + 4 \sqrt{x} + 1 \cdot 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.5.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{16 x + 20 x^{\frac{1}{2}} + 4 \sqrt{x} + 5 + 8 x - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.6

Addiere $16 x$ und $8 x$ .

$\frac{24 x + 20 x^{\frac{1}{2}} + 4 \sqrt{x} + 5 - 2 + 4 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.7

Addiere $4 \sqrt{x}$ und $4 \sqrt{x}$ .

$\frac{24 x + 20 x^{\frac{1}{2}} + 5 - 2 + 8 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.4.8

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{24 x + 20 x^{\frac{1}{2}} + 3 + 8 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}}$