Analysis Beispiele

$f (x) = (1 + 7 x^{2}) (x - x^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + 7 x^{2}$ und $g (x) = x - x^{2}$ .

$(1 + 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x - x^{2}] + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(1 + 7 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - (2 x)) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 7 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}])$

Schritt 4.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [7 x^{2}])$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Schritt 5.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + 7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + 7 (2 x))$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + 14 x)$

Schritt 6

Addiere $0$ und $14 x$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (14 x)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x) + (1 + 7 x^{2}) \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (- 2 x) + 7 x^{2} (- 2 x) + (1 + 7 x^{2}) \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (- 2 x) + 7 x^{2} (- 2 x) + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Schritt 7.5

Vereine die Terme

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 x + 7 x^{2} (- 2 x) + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$- 2 x - 14 x^{2} x + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Schritt 7.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 x - 14 (x^{1} x^{2}) + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Schritt 7.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x - 14 x^{1 + 2} + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Schritt 7.5.5

Addiere $1$ und $2$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Schritt 7.5.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Schritt 7.5.7

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Schritt 7.5.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 (x^{1} x) - x^{2} (14 x)$

Schritt 7.5.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 (x^{1} x^{1}) - x^{2} (14 x)$

Schritt 7.5.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{1 + 1} - x^{2} (14 x)$

Schritt 7.5.11

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - x^{2} (14 x)$

Schritt 7.5.12

Mutltipliziere $14$ mit $- 1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 x^{2} x$

Schritt 7.5.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 (x^{1} x^{2})$

Schritt 7.5.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 x^{1 + 2}$

Schritt 7.5.15

Addiere $1$ und $2$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 x^{3}$

Schritt 7.5.16

Addiere $7 x^{2}$ und $14 x^{2}$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 21 x^{2} - 14 x^{3}$

Schritt 7.5.17

Subtrahiere $14 x^{3}$ von $- 14 x^{3}$ .

$- 2 x - 28 x^{3} + 1 + 21 x^{2}$

Schritt 7.6

Stelle die Terme um.

$- 28 x^{3} + 21 x^{2} - 2 x + 1$