Analysis Beispiele

$f (t) = (1 - t^{2}) (1 - \frac{3}{t^{2}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = 1 - t^{2}$ und $g (t) = 1 - \frac{3}{t^{2}}$ .

$(1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - \frac{3}{t^{2}}] + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \frac{3}{t^{2}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]$ .

$(1 - t^{2}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(1 - t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{t^{2}}$ nach $t$ gleich $- 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{t^{2}}$ als ${(t^{2})}^{- 1}$ um.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{2}$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{2}$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- t^{- 4} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{- 4} t)) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 3.7

Potenziere $t$ mit $1$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{1 - 4})) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{- 3})) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$(1 - t^{2}) (0 + 6 t^{- 3}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t^{2}) (0 + 6 \frac{1}{t^{3}}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{t^{3}}$ .

$(1 - t^{2}) (0 + \frac{6}{t^{3}}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $\frac{6}{t^{3}}$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 5

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Schritt 5.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Schritt 6

Berechne $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t^{2}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - (2 t))$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - 2 t)$

Schritt 7

Subtrahiere $2 t$ von $0$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (- 2 t)$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (- 2 t)$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Schritt 8.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{6}{t^{3}}$ mit $1$ .

$\frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{6}{t^{3}}$ und $t^{2}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6 t^{2}}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{2}$ und $t^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.3.1

Faktorisiere $t^{2}$ aus $6 t^{2}$ heraus.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Schritt 8.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.3.2.1

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{3}$ heraus.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{2} t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Schritt 8.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{2} t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Schritt 8.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Schritt 8.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + 2 \frac{3}{t^{2}} t$

Schritt 8.3.6

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{t^{2}}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{2 \cdot 3}{t^{2}} t$

Schritt 8.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6}{t^{2}} t$

Schritt 8.3.8

Kombiniere $\frac{6}{t^{2}}$ und $t$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6 t}{t^{2}}$

Schritt 8.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t$ und $t^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.9.1

Faktorisiere $t$ aus $6 t$ heraus.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t^{2}}$

Schritt 8.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.9.2.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t \cdot t}$

Schritt 8.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t \cdot t}$

Schritt 8.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6}{t}$

Schritt 8.3.10

Addiere $- \frac{6}{t}$ und $\frac{6}{t}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t + 0$

Schritt 8.3.11

Addiere $\frac{6}{t^{3}} - 2 t$ und $0$ .

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t$

Schritt 8.4

Stelle die Terme um.

$- 2 t + \frac{6}{t^{3}}$