Analysis Beispiele

$y = {(x^{2} - 3 x + 1)}^{5}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x^{2} - 3 x + 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 3 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 3 x + 1$ .

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x - 3 + 0)$

Schritt 4.2

Addiere $2 x - 3$ und $0$ .

$5 {(x^{2} - 3 x + 1)}^{4} (2 x - 3)$