Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4}}$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4}}$ als ${({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}]$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4 \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 4}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 4}$ und $g (x) = x^{2} - 2 x - 5$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 2 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 2 x - 5$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 3.6

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 + 0)$

Schritt 3.7

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$ .

$\frac{- 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $- \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$ um.

$- (2 x - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (2 x) - - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- 2 x - - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$(- 2 x + 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 2 x + 2$ mit $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$ .

$\frac{(- 2 x + 2) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Schritt 4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 2$ heraus.

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Schritt 4.8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{(2 (- x) + 2) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Schritt 4.8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{(2 (- x) + 2 (1)) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Schritt 4.8.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (- x + 1) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 (- x + 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Schritt 4.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{8 (- (x) + 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Schritt 4.10

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Schritt 4.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{8 (- (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Schritt 4.12

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$\frac{8 (- 1 (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Schritt 4.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$