Analysis Beispiele

$y = {(2 x - 7)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 2 x - 7$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x - 7]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 7]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 7$ .

$3 {(2 x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 7]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$3 {(2 x - 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(2 x - 7)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(2 x - 7)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 {(2 x - 7)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(2 x - 7)}^{2} (2 + 0)$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1

Addiere $2$ und $0$ .

$3 {(2 x - 7)}^{2} \cdot 2$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 {(2 x - 7)}^{2}$