Analysis Beispiele

$4 y^{3} + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 y^{3} + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [4 y^{3}] + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [4 y^{3}] + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{3}$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 y^{2} + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ als ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$12 y^{2} + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ und $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 3.4

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 y)$

Schritt 3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 y)$

Schritt 3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y)$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y)$

Schritt 3.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 y)$

Schritt 3.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 y)$

Schritt 3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 y)$

Schritt 3.11

Addiere $0$ und $2 y$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 y)$

Schritt 3.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$12 y^{2} + \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y)$

Schritt 3.13

Kombiniere $2$ und $\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} y$

Schritt 3.14

Kombiniere $\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $y$ .

$12 y^{2} + \frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} y}{2}$

Schritt 3.15

Bringe ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 y^{2} + \frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 y^{2} + \frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.17

Forme den Ausdruck um.

$12 y^{2} + \frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$