Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (2 x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Schritt 3

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x$

Schritt 5

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 5.5.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 6

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Schritt 9

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

Schritt 10.2

Berechne $\sin (u)$ bei $π$ und $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.2.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (π)}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.3

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $\cos (π)$ .

$- \frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.4

Schreibe $\frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2}$ als ein Produkt um.

$- (\frac{π \cos (π)}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.5

Mutltipliziere $\frac{π \cos (π)}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{2 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.8

Mutltipliziere $0$ mit $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 10.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.10

Addiere $- \frac{π \cos (π)}{4}$ und $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.11

Um $\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 10.3.12

Kombiniere $\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ und $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

Schritt 10.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

Schritt 10.3.14

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Schritt 10.3.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.3.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Schritt 10.3.15.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- π \cos (π) + 1 (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Schritt 10.3.16

Mutltipliziere $\sin (π) - \sin (0)$ mit $1$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - \sin (0)}{4}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - 0}{4}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) + 0}{4}$

Schritt 11.3

Addiere $- π \cos (π) + \sin (π)$ und $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π)}{4}$

Schritt 11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- π \cos (π)$ heraus.

$\frac{- (π \cos (π)) + \sin (π)}{4}$

Schritt 11.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin (π)$ heraus.

$\frac{- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))}{4}$

Schritt 11.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))$ heraus.

$\frac{- (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

Schritt 11.7

Schreibe $- (π \cos (π) - \sin (π))$ als $- 1 (π \cos (π) - \sin (π))$ um.

$\frac{- 1 (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

Schritt 11.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{π \cos (π) - \sin (π)}{4}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \frac{π (- \cos (0)) - \sin (π)}{4}$

Schritt 12.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- \frac{π (- 1 \cdot 1) - \sin (π)}{4}$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{π \cdot - 1 - \sin (π)}{4}$

Schritt 12.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $π$ .

$- \frac{- 1 \cdot π - \sin (π)}{4}$

Schritt 12.5

Schreibe $- 1 π$ als $- π$ um.

$- \frac{- π - \sin (π)}{4}$

Schritt 12.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \frac{- π - \sin (0)}{4}$

Schritt 12.7

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- \frac{- π - 0}{4}$

Schritt 12.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{- π + 0}{4}$

Schritt 12.9

Addiere $- π$ und $0$ .

$- \frac{- π}{4}$

Schritt 12.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{π}{4}$

Schritt 12.11

Multipliziere $- - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 12.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{π}{4}$

Schritt 12.11.2

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $1$ .

$\frac{π}{4}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{4}$

Dezimalform:

$0.78539816 \dots$