Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$ um.

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Schritt 1.2.2.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.2.2.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

Schritt 1.2.2.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

Schritt 1.2.2.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$27 - 9 \cdot 9 + 24 \cdot 3 - 18$

Schritt 1.2.2.3.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $9$ .

$27 - 81 + 24 \cdot 3 - 18$

Schritt 1.2.2.3.5

Subtrahiere $81$ von $27$ .

$- 54 + 24 \cdot 3 - 18$

Schritt 1.2.2.3.6

Mutltipliziere $24$ mit $3$ .

$- 54 + 72 - 18$

Schritt 1.2.2.3.7

Addiere $- 54$ und $72$ .

$18 - 18$

Schritt 1.2.2.3.8

Subtrahiere $18$ von $18$ .

$0$

Schritt 1.2.2.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18}{x - 3}$

Schritt 1.2.2.5

Dividiere $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ durch $x - 3$ .

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Schritt 1.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$18$

Schritt 1.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$

Schritt 1.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 1.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 1.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Schritt 1.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 1.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 1.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$

Schritt 1.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x^{2} + 18 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$

Schritt 1.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$

Schritt 1.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

Schritt 1.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

Schritt 1.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							+	$6 x$	-	$18$

Schritt 1.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x - 18$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$

Schritt 1.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$
										$0$

Schritt 1.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 6 x + 6$

Schritt 1.2.2.6

Schreibe $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 1.2.5

Setze $x^{2} - 6 x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x^{2} - 6 x + 6$ gleich $0$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 6$ und $c = 6$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.3

Subtrahiere $24$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.4.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 1.2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.3

Subtrahiere $24$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.5.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.4.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 3 + \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.5.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 1.2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.3

Subtrahiere $24$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.5.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 3 - \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = 3, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 24 (0) - 18$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Schritt 2.2.4

Vereinfache ${(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Schritt 2.2.4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 9 \cdot 0 + 24 (0) - 18$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 24 (0) - 18$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $24$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 18$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 - 18$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 18$

Schritt 2.2.4.2.3

Subtrahiere $18$ von $0$ .

$y = - 18$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 18)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 18)$

Schritt 4