Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x = 0$ um.

$3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x^{\frac{2}{3}}$ aus $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x^{\frac{2}{3}}$ aus $3 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 - 2 x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $x^{\frac{2}{3}}$ aus $- 2 x$ heraus.

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x^{\frac{1}{3}}) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $x^{\frac{2}{3}}$ aus $x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x^{\frac{1}{3}})$ heraus.

$x^{\frac{2}{3}} (3 - 2 x^{\frac{1}{3}}) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 0$

$3 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x^{\frac{2}{3}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x^{\frac{2}{3}}$ gleich $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $x^{\frac{2}{3}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Vereinfache $\pm 0^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm 0^{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.4

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $3 - 2 x^{\frac{1}{3}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $3 - 2 x^{\frac{1}{3}}$ gleich $0$ .

$3 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $3 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = - 3$

Schritt 1.2.5.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(- 2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1

Vereinfache ${(- 2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ an.

${(- 2)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.1.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 8 x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$- 8 x = {(- 3)}^{3}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.3.2.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$- 8 x = - 27$

Schritt 1.2.5.2.4

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x = - 27$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x = - 27$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 1.2.5.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

Schritt 1.2.5.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 27}{- 8}$

Schritt 1.2.5.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.4.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{27}{8}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{\frac{2}{3}} (3 - 2 x^{\frac{1}{3}}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{27}{8}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\frac{27}{8}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 3 {(0)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 3 \cdot 0^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 3 {(0)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $3 {(0)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$y = 3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.3.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 3 \cdot 0 - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y = 0 - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\frac{27}{8}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4