Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x^{2} + 81)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \ln (x^{2} + 81)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (x^{2} + 81) = 0$ um.

$\ln (x^{2} + 81) = 0$

Schritt 1.2.2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2} + 81)} = e^{0}$

Schritt 1.2.3

Schreibe $\ln (x^{2} + 81) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x^{2} + 81$

Schritt 1.2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 81 = e^{0}$ um.

$x^{2} + 81 = e^{0}$

Schritt 1.2.4.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{2} + 81 = 1$

Schritt 1.2.4.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.3.1

Subtrahiere $81$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1 - 81$

Schritt 1.2.4.3.2

Subtrahiere $81$ von $1$ .

$x^{2} = - 80$

Schritt 1.2.4.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 80}$

Schritt 1.2.4.5

Vereinfache $\pm \sqrt{- 80}$ .

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Schritt 1.2.4.5.1

Schreibe $- 80$ als $- 1 (80)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (80)}$

Schritt 1.2.4.5.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (80)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$

Schritt 1.2.4.5.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{80}$

Schritt 1.2.4.5.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 1.2.4.5.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$x = \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}$

Schritt 1.2.4.5.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}$

Schritt 1.2.4.5.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \cdot (4 \sqrt{5})$

Schritt 1.2.4.5.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 4 i \sqrt{5}$

Schritt 1.2.4.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4 i \sqrt{5}$

Schritt 1.2.4.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4 i \sqrt{5}$

Schritt 1.2.4.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4 i \sqrt{5}, - 4 i \sqrt{5}$

Schritt 1.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \ln ({(0)}^{2} + 81)$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \ln (0^{2} + 81)$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \ln ({(0)}^{2} + 81)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\ln ({(0)}^{2} + 81)$ .

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Schritt 2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \ln (0 + 81)$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $0$ und $81$ .

$y = \ln (81)$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \ln (81))$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \ln (81))$

Schritt 4