Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36 = 0$ um.

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 1.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 36, \pm 9, \pm 18, \pm 2, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 12, \pm 6, \pm 4, \pm 2.25$

Schritt 1.2.2.3

Setze $4.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $4.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.2.2.3.1

Setze $4.5$ in das Polynom ein.

$4 \cdot {4.5}^{3} - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Schritt 1.2.2.3.2

Potenziere $4.5$ mit $3$ .

$4 \cdot 91.125 - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Schritt 1.2.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $91.125$ .

$364.5 - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Schritt 1.2.2.3.4

Potenziere $4.5$ mit $2$ .

$364.5 - 24 \cdot 20.25 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Schritt 1.2.2.3.5

Mutltipliziere $- 24$ mit $20.25$ .

$364.5 - 486 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Schritt 1.2.2.3.6

Subtrahiere $486$ von $364.5$ .

$- 121.5 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Schritt 1.2.2.3.7

Mutltipliziere $35$ mit $4.5$ .

$- 121.5 + 157.5 - 36$

Schritt 1.2.2.3.8

Addiere $- 121.5$ und $157.5$ .

$36 - 36$

Schritt 1.2.2.3.9

Subtrahiere $36$ von $36$ .

$0$

Schritt 1.2.2.4

Da $4.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x - 9$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36}{2 x - 9}$

Schritt 1.2.2.5

Dividiere $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ durch $2 x - 9$ .

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Schritt 1.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$9$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$36$

Schritt 1.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$

Schritt 1.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			+	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$

Schritt 1.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{3} - 18 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$

Schritt 1.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Schritt 1.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$

Schritt 1.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$

Schritt 1.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$

Schritt 1.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x^{2} + 27 x$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$

Schritt 1.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$

Schritt 1.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$

Schritt 1.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $8 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$

Schritt 1.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							+	$8 x$	-	$36$

Schritt 1.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $8 x - 36$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							-	$8 x$	+	$36$

Schritt 1.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							-	$8 x$	+	$36$
										$0$

Schritt 1.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} - 3 x + 4$

Schritt 1.2.2.6

Schreibe $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x - 9) (2 x^{2} - 3 x + 4) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 9 = 0$

$2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $2 x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $2 x - 9$ gleich $0$ .

$2 x - 9 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $2 x - 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 9$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 9$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 9$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{9}{2}$

Schritt 1.2.5

Setze $2 x^{2} - 3 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $2 x^{2} - 3 x + 4$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 3$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.3

Subtrahiere $32$ von $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

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Schritt 1.2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.3

Subtrahiere $32$ von $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

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Schritt 1.2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.3

Subtrahiere $32$ von $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 9) (2 x^{2} - 3 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{9}{2}, \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{9}{2}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 24 \cdot 0^{2} + 35 (0) - 36$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Schritt 2.2.4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 0 - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Schritt 2.2.4.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 24 \cdot 0 + 35 (0) - 36$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $- 24$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 35 (0) - 36$

Schritt 2.2.4.1.5

Mutltipliziere $35$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 36$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 - 36$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 36$

Schritt 2.2.4.2.3

Subtrahiere $36$ von $0$ .

$y = - 36$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 36)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{9}{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 36)$

Schritt 4