Analysis Beispiele

$4 y = 20 x^{3} - 3 x^{5}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$4 (0) = 20 x^{3} - 3 x^{5}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $20 x^{3} - 3 x^{5} = 4 (0)$ um.

$20 x^{3} - 3 x^{5} = 4 (0)$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$20 x^{3} - 3 x^{5} = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $20 x^{3} - 3 x^{5}$ heraus.

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $20 x^{3}$ heraus.

$x^{3} \cdot 20 - 3 x^{5} = 0$

Schritt 1.2.3.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 3 x^{5}$ heraus.

$x^{3} \cdot 20 + x^{3} (- 3 x^{2}) = 0$

Schritt 1.2.3.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} \cdot 20 + x^{3} (- 3 x^{2})$ heraus.

$x^{3} (20 - 3 x^{2}) = 0$

Schritt 1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$20 - 3 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 1.2.6

Setze $20 - 3 x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $20 - 3 x^{2}$ gleich $0$ .

$20 - 3 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $20 - 3 x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} = - 20$

Schritt 1.2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 20$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 20$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 20}{- 3}$

Schritt 1.2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 20}{- 3}$

Schritt 1.2.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 20}{- 3}$

Schritt 1.2.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{20}{3}$

Schritt 1.2.6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{20}{3}}$

Schritt 1.2.6.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{20}{3}}$ .

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Schritt 1.2.6.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{20}{3}}$ als $\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.6.2.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.2.4.2.1

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 1.2.6.2.4.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (5)}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.6.2.4.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.6.2.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.6.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.6.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.6.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.6.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.6.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 1.2.6.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.6.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.2.6.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.6.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.6.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.6.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 1.2.6.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.6.2.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.2.4.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3 \cdot 5}}{3}$

Schritt 1.2.6.2.4.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{15}}{3}$

Schritt 1.2.6.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{3}$

Schritt 1.2.6.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 \sqrt{15}}{3}$

Schritt 1.2.6.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{3}, - \frac{2 \sqrt{15}}{3}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{3} (20 - 3 x^{2}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{2 \sqrt{15}}{3}, - \frac{2 \sqrt{15}}{3}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\frac{2 \sqrt{15}}{3}, 0), (- \frac{2 \sqrt{15}}{3}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$4 y = 20 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{5}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 y = 20 \cdot 0 - 3 {(0)}^{5}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $0$ .

$4 y = 0 - 3 {(0)}^{5}$

Schritt 2.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 y = 0 - 3 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$4 y = 0 + 0$

Schritt 2.2.1.5

Addiere $0$ und $0$ .

$4 y = 0$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{0}{4}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\frac{2 \sqrt{15}}{3}, 0), (- \frac{2 \sqrt{15}}{3}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4