Analysis Beispiele

$f (x) = (1 - x) e^{x}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = (1 - x) \cdot e^{x}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $(1 - x) \cdot e^{x} = 0$ um.

$(1 - x) \cdot e^{x} = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$1 - x = 0$

$e^{x} = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 1.2.3.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 1.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 1.2.4

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 1.2.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 1.2.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 1.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(1 - x) \cdot e^{x} = 0$ wahr machen.

$x = 1$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = (1 - (0)) \cdot e^{0}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = (1 - (0)) \cdot e^{0}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $(1 - (0)) \cdot e^{0}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$y = 1 \cdot e^{0}$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $e^{0}$ mit $1$ .

$y = e^{0}$

Schritt 2.2.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1)$

Schritt 4