Analysis Beispiele

$f (x) = (x^{2} + 12) (144 - x^{2})$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = (x^{2} + 12) (144 - x^{2})$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $(x^{2} + 12) (144 - x^{2}) = 0$ um.

$(x^{2} + 12) (144 - x^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 12 = 0$

$144 - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $x^{2} + 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $x^{2} + 12$ gleich $0$ .

$x^{2} + 12 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Löse $x^{2} + 12 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 12$

Schritt 1.2.3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 12}$

Schritt 1.2.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 12}$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (12)}$

Schritt 1.2.3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$

Schritt 1.2.3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{12}$

Schritt 1.2.3.2.3.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.3.2.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}$

Schritt 1.2.3.2.3.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{3})$

Schritt 1.2.3.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.4

Setze $144 - x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $144 - x^{2}$ gleich $0$ .

$144 - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $144 - x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $144$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 144$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 144$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 144$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 144}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 144}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 144}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.3.1

Dividiere $- 144$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 144$

Schritt 1.2.4.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{144}$

Schritt 1.2.4.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{144}$ .

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Schritt 1.2.4.2.4.1

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{12^{2}}$

Schritt 1.2.4.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 12$

Schritt 1.2.4.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 12$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 12$

Schritt 1.2.4.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 12, - 12$

Schritt 1.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 12) (144 - x^{2}) = 0$ wahr machen.

$x = 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}, 12, - 12$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(12, 0), (- 12, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = ({(0)}^{2} + 12) (144 - {(0)}^{2})$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = (0^{2} + 12) (144 - {(0)}^{2})$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (0^{2} + 12) (144 - 0^{2})$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = ({(0)}^{2} + 12) (144 - {(0)}^{2})$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $({(0)}^{2} + 12) (144 - {(0)}^{2})$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = (0 + 12) (144 - {(0)}^{2})$

Schritt 2.2.4.1.2

Addiere $0$ und $12$ .

$y = 12 (144 - {(0)}^{2})$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 12 (144 - 0)$

Schritt 2.2.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 12 (144 + 0)$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.3.1

Addiere $144$ und $0$ .

$y = 12 \cdot 144$

Schritt 2.2.4.3.2

Mutltipliziere $12$ mit $144$ .

$y = 1728$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1728)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(12, 0), (- 12, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1728)$

Schritt 4