Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 8}{x + 3}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{x^{2} - 8}{x + 3}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} - 8 = 0$

Schritt 1.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 8$

Schritt 1.2.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{8}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{8}$ .

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Schritt 1.2.2.3.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2 \sqrt{2}, 0), (- 2 \sqrt{2}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{{(0)}^{2} - 8}{(0) + 3}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{0^{2} - 8}{(0) + 3}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{0^{2} - 8}{0 + 3}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = \frac{{(0)}^{2} - 8}{(0) + 3}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $\frac{{(0)}^{2} - 8}{(0) + 3}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{0 - 8}{0 + 3}$

Schritt 2.2.4.1.2

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$y = \frac{- 8}{0 + 3}$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $3$ .

$y = \frac{- 8}{3}$

Schritt 2.2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{8}{3}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{8}{3})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2 \sqrt{2}, 0), (- 2 \sqrt{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{8}{3})$

Schritt 4