Analysis Beispiele

$f (x) = (x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = (x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162) = 0$ um.

$(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162) = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

$x^{2} - 18 x - 162 = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 1.2.4

Setze $x^{2} - 18 x - 162$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x^{2} - 18 x - 162$ gleich $0$ .

$x^{2} - 18 x - 162 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $x^{2} - 18 x - 162 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 18$ und $c = - 162$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 162)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.3.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot - 162}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 162$ .

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Schritt 1.2.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot - 162}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 162$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 648}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.3.1.3

Addiere $324$ und $648$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{972}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.3.1.4

Schreibe $972$ als $18^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.4.2.3.1.4.1

Faktorisiere $324$ aus $972$ heraus.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.3.1.4.2

Schreibe $324$ als $18^{2}$ um.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{18 \pm 18 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{18 \pm 18 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.4.2.3.3

Vereinfache $\frac{18 \pm 18 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 9 \pm 9 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.4.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.4.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot - 162}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 162$ .

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Schritt 1.2.4.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot - 162}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 162$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 648}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.4.1.3

Addiere $324$ und $648$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{972}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.4.1.4

Schreibe $972$ als $18^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.4.2.4.1.4.1

Faktorisiere $324$ aus $972$ heraus.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.4.1.4.2

Schreibe $324$ als $18^{2}$ um.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{18 \pm 18 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{18 \pm 18 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.4.2.4.3

Vereinfache $\frac{18 \pm 18 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 9 \pm 9 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.4.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 9 + 9 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.5.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot - 162}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 162$ .

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Schritt 1.2.4.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot - 162}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 162$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 648}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.5.1.3

Addiere $324$ und $648$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{972}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.5.1.4

Schreibe $972$ als $18^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.4.2.5.1.4.1

Faktorisiere $324$ aus $972$ heraus.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.5.1.4.2

Schreibe $324$ als $18^{2}$ um.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{18 \pm 18 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{18 \pm 18 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.4.2.5.3

Vereinfache $\frac{18 \pm 18 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 9 \pm 9 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.4.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 9 - 9 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.4.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 9 + 9 \sqrt{3}, 9 - 9 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162) = 0$ wahr machen.

$x = 9, 9 + 9 \sqrt{3}, 9 - 9 \sqrt{3}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(9, 0), (9 + 9 \sqrt{3}, 0), (9 - 9 \sqrt{3}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = ((0) - 9) ({(0)}^{2} - 18 \cdot 0 - 162)$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = (0 - 9) ({(0)}^{2} - 18 \cdot 0 - 162)$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (0 - 9) (0^{2} - 18 \cdot 0 - 162)$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = ((0) - 9) ({(0)}^{2} - 18 \cdot 0 - 162)$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $((0) - 9) ({(0)}^{2} - 18 \cdot 0 - 162)$ .

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Schritt 2.2.4.1

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$y = - 9 ({(0)}^{2} - 18 \cdot 0 - 162)$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 9 (0 - 18 \cdot 0 - 162)$

Schritt 2.2.4.2.2

Mutltipliziere $- 18$ mit $0$ .

$y = - 9 (0 + 0 - 162)$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.3.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = - 9 (0 - 162)$

Schritt 2.2.4.3.2

Subtrahiere $162$ von $0$ .

$y = - 9 \cdot - 162$

Schritt 2.2.4.3.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 162$ .

$y = 1458$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1458)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(9, 0), (9 + 9 \sqrt{3}, 0), (9 - 9 \sqrt{3}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1458)$

Schritt 4