Analysis Beispiele

$25 x^{2} - 750 x + 10000$

Schritt 1

Schreibe $25 x^{2} - 750 x + 10000$ als Gleichung.

$y = 25 x^{2} - 750 x + 10000$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 25 x^{2} - 750 x + 10000$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $25 x^{2} - 750 x + 10000 = 0$ um.

$25 x^{2} - 750 x + 10000 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $25$ aus $25 x^{2} - 750 x + 10000$ heraus.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25 x^{2}$ heraus.

$25 (x^{2}) - 750 x + 10000 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $25$ aus $- 750 x$ heraus.

$25 (x^{2}) + 25 (- 30 x) + 10000 = 0$

Schritt 2.2.2.3

Faktorisiere $25$ aus $10000$ heraus.

$25 x^{2} + 25 (- 30 x) + 25 \cdot 400 = 0$

Schritt 2.2.2.4

Faktorisiere $25$ aus $25 x^{2} + 25 (- 30 x)$ heraus.

$25 (x^{2} - 30 x) + 25 \cdot 400 = 0$

Schritt 2.2.2.5

Faktorisiere $25$ aus $25 (x^{2} - 30 x) + 25 \cdot 400$ heraus.

$25 (x^{2} - 30 x + 400) = 0$

Schritt 2.2.3

Teile jeden Ausdruck in $25 (x^{2} - 30 x + 400) = 0$ durch $25$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $25 (x^{2} - 30 x + 400) = 0$ durch $25$ .

$\frac{25 (x^{2} - 30 x + 400)}{25} = \frac{0}{25}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 (x^{2} - 30 x + 400)}{25} = \frac{0}{25}$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 30 x + 400$ durch $1$ .

$x^{2} - 30 x + 400 = \frac{0}{25}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $25$ .

$x^{2} - 30 x + 400 = 0$

Schritt 2.2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 30$ und $c = 400$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 400)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1.1

Potenziere $- 30$ mit $2$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 400$ .

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Schritt 2.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 400}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $400$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 1600}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.3

Subtrahiere $1600$ von $900$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 700}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.4

Schreibe $- 700$ als $- 1 (700)$ um.

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1 \cdot 700}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (700)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{700}$ um.

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{700}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{700}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.7

Schreibe $700$ als $10^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.2.6.1.7.1

Faktorisiere $100$ aus $700$ heraus.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{100 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.7.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{30 \pm i \cdot (10 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.9

Bringe $10$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{30 \pm 10 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{30 \pm 10 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.2.6.3

Vereinfache $\frac{30 \pm 10 i \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 15 \pm 5 i \sqrt{7}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.7.1.1

Potenziere $- 30$ mit $2$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 400$ .

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Schritt 2.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 400}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $400$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 1600}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.3

Subtrahiere $1600$ von $900$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 700}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.4

Schreibe $- 700$ als $- 1 (700)$ um.

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1 \cdot 700}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (700)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{700}$ um.

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{700}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{700}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.7

Schreibe $700$ als $10^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.2.7.1.7.1

Faktorisiere $100$ aus $700$ heraus.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{100 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.7.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{30 \pm i \cdot (10 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.9

Bringe $10$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{30 \pm 10 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{30 \pm 10 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.2.7.3

Vereinfache $\frac{30 \pm 10 i \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 15 \pm 5 i \sqrt{7}$

Schritt 2.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 15 + 5 i \sqrt{7}$

Schritt 2.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.8.1.1

Potenziere $- 30$ mit $2$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 400$ .

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Schritt 2.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 400}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $400$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 1600}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.3

Subtrahiere $1600$ von $900$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 700}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.4

Schreibe $- 700$ als $- 1 (700)$ um.

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1 \cdot 700}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (700)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{700}$ um.

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{700}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{700}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.7

Schreibe $700$ als $10^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.2.8.1.7.1

Faktorisiere $100$ aus $700$ heraus.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{100 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.7.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{30 \pm i \cdot (10 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.9

Bringe $10$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{30 \pm 10 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{30 \pm 10 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.2.8.3

Vereinfache $\frac{30 \pm 10 i \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 15 \pm 5 i \sqrt{7}$

Schritt 2.2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 15 - 5 i \sqrt{7}$

Schritt 2.2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 15 + 5 i \sqrt{7}, 15 - 5 i \sqrt{7}$

Schritt 2.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schritt 3

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 3.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 25 {(0)}^{2} - 750 \cdot 0 + 10000$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 25 \cdot 0^{2} - 750 \cdot 0 + 10000$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 25 {(0)}^{2} - 750 \cdot 0 + 10000$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $25 {(0)}^{2} - 750 \cdot 0 + 10000$ .

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 25 \cdot 0 - 750 \cdot 0 + 10000$

Schritt 3.2.3.1.2

Mutltipliziere $25$ mit $0$ .

$y = 0 - 750 \cdot 0 + 10000$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 750$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 10000$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 10000$

Schritt 3.2.3.2.2

Addiere $0$ und $10000$ .

$y = 10000$

Schritt 3.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 10000)$

Schritt 4

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 10000)$

Schritt 5