Analysis Beispiele

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} x)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 3 \cos (\frac{1}{2} x)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $3 \cos (\frac{1}{2} x) = 0$ um.

$3 \cos (\frac{1}{2} x) = 0$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \cos (\frac{1}{2} x) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \cos (\frac{1}{2} x) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 \cos (\frac{1}{2} x)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cos (\frac{1}{2} x)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (\frac{1}{2} x)$ durch $1$ .

$\cos (\frac{1}{2} x) = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$\cos (\frac{1}{2} x) = 0$

Schritt 1.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{1}{2} x = \arccos (0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = π$

Schritt 1.2.7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.8.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.8.2.2.1

Vereinfache $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 1.2.8.2.2.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.8.2.2.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.8.2.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.8.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.8.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.8.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Schritt 1.2.8.2.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = 4 π - π$

Schritt 1.2.8.2.2.1.6

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = 3 π$

Schritt 1.2.9

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{1}{2} x)$ .

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Schritt 1.2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.9.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 1.2.9.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 1.2.9.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 1.2.10

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{1}{2} x)$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(π + 2 π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (0))$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot 0)$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (0))$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (0))$ .

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$y = 3 \cos (0)$

Schritt 2.2.3.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$y = 3 \cdot 1$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = 3$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 3)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(π + 2 π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 3)$

Schritt 4