Analysis Beispiele

$y = x^{4} - 8 x^{2} + 8$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{4} - 8 x^{2} + 8$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$ um.

$x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 1.2.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 8 u + 8 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 1.2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8$ und $c = 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

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Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.3

Subtrahiere $32$ von $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.3

Subtrahiere $32$ von $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = 4 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.3

Subtrahiere $32$ von $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.7.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.7.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = 4 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = 4 + 2 \sqrt{2}, 4 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 1.2.9

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 6.82842712$

${(x^{2})}^{1} = 1.17157287$

Schritt 1.2.10

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 6.82842712$

Schritt 1.2.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6.82842712}$

Schritt 1.2.11.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.11.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{6.82842712}$

Schritt 1.2.11.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{6.82842712}$

Schritt 1.2.11.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{6.82842712}, - \sqrt{6.82842712}$

Schritt 1.2.12

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 1.17157287$

Schritt 1.2.13

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.13.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 1.17157287$

Schritt 1.2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1.17157287}$

Schritt 1.2.13.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.13.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{1.17157287}$

Schritt 1.2.13.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{1.17157287}$

Schritt 1.2.13.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{1.17157287}, - \sqrt{1.17157287}$

Schritt 1.2.14

Die Lösung von $x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$ ist $x = \sqrt{6.82842712}, - \sqrt{6.82842712}, \sqrt{1.17157287}, - \sqrt{1.17157287}$ .

$x = \sqrt{6.82842712}, - \sqrt{6.82842712}, \sqrt{1.17157287}, - \sqrt{1.17157287}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{6.82842712}, 0), (- \sqrt{6.82842712}, 0), (\sqrt{1.17157287}, 0), (- \sqrt{1.17157287}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 8$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 8 {(0)}^{2} + 8$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 8$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 8$

Schritt 2.2.4

Vereinfache ${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 8$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 8 {(0)}^{2} + 8$

Schritt 2.2.4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0 + 8$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 8$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 8$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $8$ .

$y = 8$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 8)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{6.82842712}, 0), (- \sqrt{6.82842712}, 0), (\sqrt{1.17157287}, 0), (- \sqrt{1.17157287}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 8)$

Schritt 4