Analysis Beispiele

$x + y^{2} - y = 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$x + {(0)}^{2} - (0) = 1$

Schritt 1.2

Vereinfache $x + {(0)}^{2} - (0)$ .

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Schritt 1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x + 0 - (0) = 1$

Schritt 1.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$x - (0) = 1$

Schritt 1.2.3

Subtrahiere $0$ von $x$ .

$x = 1$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$(0) + y^{2} - y = 1$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Addiere $0$ und $y^{2}$ .

$y^{2} - y = 1$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - y - 1 = 0$

Schritt 2.2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.7.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}), (0, \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}), (0, \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Schritt 4