Analysis Beispiele

$p (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$

Schritt 1

Setze $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ gleich $0$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Schritt 2.1.1.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 27 \cdot 3 - 27$

Schritt 2.1.1.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 - 9 \cdot 3^{2} + 27 \cdot 3 - 27$

Schritt 2.1.1.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$27 - 9 \cdot 9 + 27 \cdot 3 - 27$

Schritt 2.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $9$ .

$27 - 81 + 27 \cdot 3 - 27$

Schritt 2.1.1.3.5

Subtrahiere $81$ von $27$ .

$- 54 + 27 \cdot 3 - 27$

Schritt 2.1.1.3.6

Mutltipliziere $27$ mit $3$ .

$- 54 + 81 - 27$

Schritt 2.1.1.3.7

Addiere $- 54$ und $81$ .

$27 - 27$

Schritt 2.1.1.3.8

Subtrahiere $27$ von $27$ .

$0$

Schritt 2.1.1.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27}{x - 3}$

Schritt 2.1.1.5

Dividiere $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ durch $x - 3$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$27 x$

$27$

Schritt 2.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$

Schritt 2.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$

Schritt 2.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$

Schritt 2.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$

Schritt 2.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x^{2} + 18 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$

Schritt 2.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$

Schritt 2.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$

Schritt 2.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $9 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$

Schritt 2.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$
							+	$9 x$	-	$27$

Schritt 2.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $9 x - 27$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$
							-	$9 x$	+	$27$

Schritt 2.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$
							-	$9 x$	+	$27$
										$0$

Schritt 2.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.1.1.6

Schreibe $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 3) (x^{2} - 6 x + 9) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x - 3) (x^{2} - 6 x + 3^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 2.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x - 3) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$(x - 3) {(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.3

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Potenziere $x - 3$ mit $1$ .

$(x - 3) {(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x - 3)}^{1 + 2} = 0$

Schritt 2.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

${(x - 3)}^{3} = 0$

Schritt 2.2

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3